轻松学习直角三角形的性质和判定

                                  临清市京华中学    张曼

直角三角形是一种非常特殊的三角形,是初中几何部分比较重要的内容，无论在几何计算中还是在相关的推理论证中都起到很重要的作用。下面对它的性质和判定进行归纳解析：     

一：性质和判定方法：

性质： 
   （1）直角三角形两个锐角互余；
   （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
   （3）在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²＋b²=c². （勾股定理）.
    判定：
   （1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；
   （2）若a²＋b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）.

二：分析说明：

直角三角形的数量关系可以归纳成两类，一类是角的关系，一类是边的数量关系。所以应用时可以根据题目条件进行选择。比如，判定一个三角形是直角三角形，所给的条件如果与角有关系，就用定义（即有一个角为90°的三角形是直角三角形）.来判定；如果与边有关系，就用勾股定理的逆定理来判定。

在以上知识体系中，勾股定理及其逆定理是几何中的重要定理，其应用是极其广泛的。勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数（ ）的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，是由数（ ）定形．正确区分勾股定理与其逆定理，可进一步加深对直角三角形的性质与判定之间关系的认识.

三：应用举例：

例1：如图1（1）,RtΔABC中, ∠ACB＝90°,两锐角的内角平分线相交于点M,则∠AMB＝______度。

解：(1)因为∠AMB＝180°－(∠ABM＋∠BAM),而∠ABM＝ ∠ABC,∠BAM＝ ∠BAC,所以∠ABM＋∠BAM＝ ∠ABC＋ ∠BAC＝ (∠ABC＋∠BAC),所以要求出∠AMB的大小,只须知道∠ABC＋∠BAC的值即可,根据直角三角形两锐角互余的性质,得∠ABC＋∠BAC＝90°,故可求得∠AMB＝135°.

[点拨]:在求解有关直角三角形的角度计算时,常要用到三角形内角和的性质和直角三角形两锐角互余的性质.

例2、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90⁰，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积

解：连结AC

∵∠B＝90⁰，AB＝3，BC＝4

∴

∴AC＝5

∵

∴

∴∠ACD＝90⁰

 ∴S=S_ΔABC+S_ΔACD=36

[点拨]:本题中，在直角三角形中已知两边利用勾股定理可求出第三边，又利用三边关系判定了三角形的形状，所以正确区分勾股定理与其逆定理，是解决这类问题的关键。

在以后的学习中，我们还将利用直角三角形的性质及判定研究直角三角形中的其他推理和计算问题.，因此，同学们在学习的同时还应不断总结反思，为直角三角形的后续学习奠定基础。